תורת הקבוצות

מהי קבוצה?
קבוצה היא אוסף איברים ללא חשיבות לחזרה וללא חשיבות לסדר
מסמנים קבוצה בסוגריים מסולסלים {}
הקבוצה הריקה:
מסמנים ב-{} או ב-∅
קבוצה שאין בה איברים
x ∈ A משמעו: x שייך לקבוצה A
x ∉ A משמעו: x לא שייך לקבוצה A
A ⊆ B משמעו: כל איברי A נמצאים גם ב-B
A ⊈ B משמעו: יש איברים ב-A שאינם נמצאים ב-B
פעולות על קבוצות:
• חיתוך (∩): איברים המשותפים לשתי הקבוצות
• איחוד (∪): כל האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות
• הפרש (\): איברי הקבוצה הראשונה שאינם בשנייה

המדריך המלא: תורת הקבוצות

דיאגרמת ון ככלי המחשה

דיאגרמת ון מציירת כל קבוצה כעיגול, וחפיפה בין העיגולים מייצגת איברים משותפים. זו הדרך הנוחה ביותר לראות מה קורה כשמצליבים קבוצות.

השטח שבו שני העיגולים חופפים הוא החיתוך (האיברים המשותפים), וכל השטח שמכוסה בלפחות עיגול אחד הוא האיחוד.

איחוד מול חיתוך: מתי משתמשים בכל אחד

חיתוך (∩) אוסף רק את האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות בו-זמנית: המילה שמתאימה לו היא "וגם".

איחוד (∪) אוסף את כל האיברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות: המילה שמתאימה לו היא "או". לדוגמה, אם A={1,2,3} ו-B={3,4}, אז A∩B={3} ואילו A∪B={1,2,3,4}.

דוגמה מהחיים

נניח שקבוצה A היא התלמידים שמשחקים כדורגל וקבוצה B היא התלמידים שמשחקים כדורסל. החיתוך A∩B הוא התלמידים שמשחקים בשני הענפים, והאיחוד A∪B הוא כל מי שמשחק לפחות ענף אחד.

ההפרש A∖B הוא התלמידים שמשחקים כדורגל אבל לא כדורסל: איברי הקבוצה הראשונה שאינם בשנייה.

שאלות נפוצות: תורת הקבוצות

מה ההבדל בין איחוד לחיתוך של קבוצות?

חיתוך (∩) אוסף רק את האיברים המשותפים לשתי הקבוצות ("וגם"), ואיחוד (∪) אוסף את כל האיברים שנמצאים לפחות באחת מהן ("או"). לדוגמה, עבור {1,2,3} ו-{3,4}: החיתוך הוא {3} והאיחוד הוא {1,2,3,4}.

מה זו הקבוצה הריקה?

קבוצה שאין בה אף איבר, שמסומנת ב-{} או ב-∅. לדוגמה, קבוצת המספרים שגדולים מ-5 וגם קטנים מ-3 היא ריקה, כי אין מספר כזה.

מה המשמעות של תת-קבוצה?

הרישום A⊆B פירושו שכל איברי A נמצאים גם ב-B. לדוגמה, {1,2} היא תת-קבוצה של {1,2,3}.

האם הסדר של האיברים בקבוצה חשוב?

לא. בקבוצה אין חשיבות לסדר וגם לא לחזרה, ולכן {1,2,3} ו-{3,1,2} הן אותה קבוצה בדיוק.

באיזו כיתה לומדים תורת הקבוצות?

לפי תוכנית הלימודים של משרד החינוך, יסודות תורת הקבוצות, סימוני שייכות ופעולות איחוד וחיתוך נלמדים בכיתה ז׳.

נושאים נוספים באותה כיתה

ביטויים ומשוואות אלגבריותמספרים מכווניםחוקי חזקותהמרות בין שברים, אחוזים ומספרים עשרונייםבעיות מילוליות עם שבריםמשוואות לינאריות לכיתה ז'העברת אגפיםסדר פעולות חשבוןיחס ישר, הפוך ובריבועאי-שוויונים עם משתניםבעיות מילוליות קצב מהירות וזמן